在進行科學研究時，我們往往需要考慮多個因素和水平來進行試驗設計。當因素數和水平數不多的情況下，我們首先考慮的是全面試驗，通過數據分析獲得豐富的信息，并且得到的分析結果也較為準確。但是，全面試驗的試驗次數很多，當試驗因素數和水平數較多時，該方法就不適用了。

這時候就需要我們選擇一個簡單比較法——正交試驗設計。

【資料圖】

正交試驗設計是研究多因素多水平的一種設計方法，它是根據正交性從全面試驗中挑選出部分有代表性的點進行試驗，這些有代表性的點具備了"均勻分散，齊整可比"的特點，正交試驗設計是一種基于正交表的、高效率、快速、經濟的試驗。

正交試驗設計通常通過正交表來安排試驗。因此，要學會正交試驗設計，首先就要學會正交表的使用。

在介紹正交表的具體內容前，我們先了解一下幾個基本概念。

⑴因素數factors：在一項試驗中，凡是需要考察的變量的個數。在正交表中為列的個數，這里我們用m表示。

⑵水平數levels，在試驗范圍內，因素被考察的值的個數(變量的取值個數)，這里我們用k表示。

⑶試驗次數(Runs)：最后生成的正交表的行數，一條(行)記錄也就是一次實驗，這里我們用n表示。

⑷正交表的表示形式：

例如：

L9(3^4)正交表：4代表因素數，此正交表中所含的列的數目；3為因素的水平數，所有因素都為3水平；9為此正交表的行數，該試驗設計的試驗次數為9次。

L16(4×2^12)正交表：有1列為4水平，12列為2水平，一共可安排16次試驗。

1.正交表的性質：

正交表必須要滿足正交性，否則該正交表不成立。

①任意一列中，各水平都出現，且出現的次數相等。

例如：在兩水平正交表中，對水平編碼為"1"和"2"，編碼"1"和"2"均出現在每一列中且在每一列中出現次數相等，而任意兩列中所構成的有序對子出現的次數相等。在三水平正交表中，對水平編碼為"1"、"2"和"3"，而編碼"1"、"2"、"3"均出現在每一列中且在每一列中出現次數相等，任意兩列中所構成的有序對子出現的次數也均相等。這反映了試驗點分布的均勻性。

②任意兩列之間各種不同水平的所有可能的組合都出現，且出現的次數相等。

例如：在兩水平正交表中，任意兩列中所構成的有序對子((1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2))都出現，且出現的次數相等。在三水平正交表中，任意兩列中所構成的有序對子((1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3))都出現，且出現的次數相等。這一點反映了試驗點分布的均衡性。

正交性體現了充分體現了正交表的"均勻分散，整齊可比"的特點，因此正交表具有很強的代表性。

2.正交表的類別

⑴等水平正交表

每一列的水平數均相等的正交表稱為等水平正交表。若Ln(K^m)中k=2，如L4(2^3)、L8(2^7)等，則這一類正交表都為兩水平正交表；若k=3，如L9(3^4)、L27(3^13)等，則這一類正交表都為兩水平正交表。

⑵混合水平正交表

各列水平數不完全相同的正交表稱為混合水平正交表。如L16(4×2^12)，即：此表的13列中，有1列為4水平，12列為2水平，這類正交表就是混合水平正交表。

3.正交表的選擇

當知道實際的因子數和水平數時，可以通過根據公式：試驗次數(行數)＝∑(每種因素水平數-1)+1，來確定最低試驗次數，進而選擇適合的正交表。

比如，要考察4因素2水平的研究時，根據公式可算得試驗次數(行數)=(2-1)×4+1=5，則這個研究最低需要5次試驗。

又如，要考察4因素2水平及5因素3水平的研究時，根據公式可算得試驗次數(行數)=(2-1)×4+(3-1)×5+1=15，則這個研究最低需要15次試驗。

例1：四君子湯由人參、白術、茯苓和甘草組成，若要找出該復方的最佳組合，應如何安排試驗。該研究有4個因素，分別是A(人參)，B(白術)，C(茯苓)，D(甘草)，每個因素有3個水平。

我們對這個研究來分析一下：

(1)該研究有4個因素，水平數都為3。

(2)選擇正交表：

本題，水平數=3，因素數=4，最低需要(3-1)×4+1=9次。

①若不考慮交互作用

查詢附錄中的正交表，取水平數為3，因素數≥4，且行數最少的正交表，只有L9(3^4)的行數最少，比較適合。

②若考慮交互作用

L9(3^4)就不合適了，因為它沒有交互作用列，此時，就需要考慮選擇其他交互表，如L27(3^13)。

例2：某化工廠為了處理含有毒性物質鋅和鎘的廢水，選取因素及水平如下表所示。

我們對這個研究來分析一下：

(1)該研究有4個因素，A因素的水平數為4，其余三個因素的水平數都為3。

(2)選擇正交表：

本題，水平數>=max(4,2)=4，因素數≥4，最低需要(4-1)×1+(2-1)×3+1=7次。

①若不考慮交互作用

查詢附錄中的正交表，取水平數為4，因素數≥4，且行數最少的正交表，只有L8(4×2^4)的行數最少，比較適合。

②若考慮交互作用

L8(4×2^4)就不合適了，因為它僅有一列交互作用列，此時，就需要考慮選擇其他交互表，如L16(4×2^12)。

正交表的介紹與使用今天就講到這里，更多試驗設計知識，小編將會在后期的文章中介紹。如果你有試驗設計方面的問題可以在評論區提出來，大家一起來討論。