觀察：幾何學中多項式是什么？多項式是由變量以及標量的代數式嗎？

在數學領域里，多項式是由變量以及標量（一般是實數或復數）經乘法及加法構法而成，屬于整式的代數式。下列四種都是多項式： 多項式中每一個 x n 皆稱之為多項式的項 次數：多項式 x n 中每一項的n為此項的次數 同次項：若有多個多項式，其中每一項的 x k 項稱之為同次項 首項：指多項式的項中次數最大者，若多項式首項為n，則稱此多項式為n次多項式

(資料圖片)

非多項式的例子：

這些式子的變量位在分母，稱作分式，并非多項式。

及  也是多項式，但若然及是可置換的變量，即，則這兩個多項式是相同的。

單項式是指可以純粹由乘法構法的多項式，如: 、 及 。單項式其實是不含加法或減法運算的整式.

（注：有說單項式不是多項式，而多項式是由起碼兩個或以上的單項式相加起來而成。這是最常見單項式及多項式的定義。但多項式相加也可以是單項式，如，這個區分令理論研究變得復雜。若然把單項式也歸納為多項式，則多項式相加的和也是多項式，情況比較簡單。）

幾何學中，多項式是最簡單的平滑曲線。簡單是指它僅由乘法及加法構法；平滑皆因它類同口語中的平滑——以數學述語來說，它是無限可微，即可以對它的所有高次微分都存在。事實上，多項式的微分也是多項式。

簡單及平滑的特點，使它在數值分析，圖論，以及電腦繪圖等，都發揮極大的作用。

歷史

多項式的研究，源于“代數方程求解”， 是最古老數學問題之一。有些代數方程，如x+1=0，在負數被接受前，被認為是無解的。另一些多項式，如f(x)=x2 + 1，是沒有任何根的——嚴格來說，是沒有任何實數根。若我們容許復數，則實數多項式或復數多項式都是有根的，這就是代數基本定理。

能否用根式求解的方法，表達出多項式的根，曾經是文藝復興后歐洲數學主要課題。一元二次多項式的根相對容易。三次多項式的根需要引入復數來表示，即使是實數多項式的實數根。四次多項式的情況也是如此。經過多年，數學家仍找不到用根式求解五次多項式的一般方法，終于在1824年阿貝爾證明了這種一般的解法不存在，震掝數壇。數年后，伽羅華引入了群的概念，證明不存在用根式求解五次或以上的多項式的一般方法，其理論被引申為伽羅瓦理論。伽羅瓦理論也證明了古希臘難題三等分角不可能。另一個難題化圓為方的不可能證明，亦與多項式有關，證明的中心是圓周率乃一個超越數，即它不是有理數多項式的根。

正式定義

給一個環 R（可以是實數環，復數環或其他）及一個變量 x，則多項式是以下代數式：

，

當中 a0, …, an是 R的元素。用 Σ表達法，有

容易證明，多項式的和或積都是多項式，即多項式組成一個環 R[x]，稱為 R上的（一元）多項式環。（注：在最一般的定義，a2x、xa2及 axa可以當作是不同的多項式，是不可置換環的例子。）

對于多變量多項式，我們可以類似方式定義。一個有 n個變量的多項式，稱為 n元多項式。通常以 R[x,y,z]表示 R為系數環，x，y及 z為變量的多項式環。

在  中， 稱為單項式，其中 a∈ R是系數而 為非負整數，是  的次數。 是這個單項式的次數。

多項式的項數

若多項式以最少的單項式之和呈現，則每一個單項式都被稱為此多項式的項，而項的數目稱為項數。

例如多項式  的項數是四，故稱為四項式。當中的 、 、、 、都是此多項式的項。

以上例子中的多項式可以寫成四個以上單項式的和，如  是五個單項式的和。是以必須強調最少的單項式之和。

另外的例子是  共有二項，此多項式稱二項式。

（注：若把  看作成在 R[c][x,y]=(R[c])[x,y] 中的多項式，則它只是三項式，分別是 、 、及 。 ）

若是未知數X、Y、Z等若出現在分母里、根號里或是絕對值中，就不能定義為“多項式”。例如：

，因為出現在分母里，所以不是多項式。，因為出現在根號里，所以不是多項式。，因為出現在絕對值里，所以不是多項式。

變項與常數項

多項式中含有變量的項稱為變項，祇有數字的項稱為常數項。 例如多項式: 中的  、  、  、 都是此多項式的變項。而是常數項。

（注：若把  看作成在 R[c][x,y]=(R[c])[x,y] 中的多項式，則  才是常數項。 ）

多項式的“元”

多項式中的變量種類稱為元，各種變量以各字母表達(注:通常是x、y、z)，一個多項式有n種變量就稱為n元多項式。

例如： 中有、 二元，是二元多項式。因有四項，可稱二元四項式。

多項式的次數

多項式中次數最高的項的次數,即此多項式的次數。

例如多項式： 中  的次數最高，有三次方，故此多項式的次數為三。 因而此多項式可稱為三元三次四項式。稱為三次項，及 稱為一次項或線性項，而 5 是 0 次項或常數項。

又例如多項式 ， 與  二項都是一次方，而常數項是零次方。故此多項式的次數為一。而此多項式項數為三，可稱為一次三項式。

常數項是零次方因為可被視為是 。而任何非零數字零次方都是1，故，常數項的次數都為0。

又例如  的首項是五次，次項是四次，所以是個三元五次多項式。（注：若把  看作成在 R[c][x,y]=(R[c])[x,y] 中的多項式，則第一項是三次而系數為 c2，第二項是四次，是個二元四次多項式。 ）

多項式 p的次數，記作 deg(p)，由英語 degree 而來。，所以0這一多項式不計次數，故稱為零多項式。常數多項式分為零次多項式和零多項式。所謂零次多項式是指每一個項（常數項除外）的系數都是0，而零多項式則指每一項的系數（包括常數項）都是0。1 次多項式又稱為 線性多項式。多項式中的一次項又稱為線性項。

多項式的升冪及降冪排列

多項式可依各單項式元的次數排列。

次數從低到高是升冪排列。 例如：以下多項式，從排到

次數從高到低是降冪排列。 例如：以下多項式，從排到

若一多項式為多元多項式，可依照其中一元排列。

例如:是依X的次數排列。

亦可以y的次數排列。

例如:

一元多項式

一元多項式中次數最高的項，稱為首項，其系數稱為該多項式的首項系數。如  的首項系數為 3。首項系數為 1 的多項式稱為首一多項式，如 。

因式分解

把一多項式分成幾個整式的積，稱為因式分解。這些整式可稱因式。

以下是常用的因式分解公式

多項式的運算

多項式乘法

把兩個多項式相乘時，第一個多項式的每一個項都要與第二個多項式的每一個項相乘。例如：

也可以利用矩陣乘法來進行：

多項式除法

主條目： 綜合除法

多項式的除法與整數的除法類似。

（1）把被除式、除式按某個字母作降冪排列，并把所缺的項用零補齊．

（2）用被除式的第一項去除除式的第一項，得商式的第一項．

（3）用商式的第一項去乘除式，把積寫在被除式下面（同類項對齊），消去相等項，把不相等的項結合起來．

（4）把減得的差當作新的被除式，再按照上面的方法繼續演算，直到余式為零或余式的次數低于除式的次數時為止．被除式=除式×商式+余式

如果一個多項式除以另一個多項式，余式為零，就說這個多項式能被另一個多項式整除

例如，計算。

因此，商是，余式是。 缺項補0

多項式座標圖例子

一些低次數的多項式座標圖：

2次多項式: f( x) =  x2-  x- 2 = ( x+1)( x-2)3次多項式: f( x) =  x3/5 + 4 x2/5  - 7 x/5 - 2 = 1/5 ( x+5)( x+1)( x-2)

4次多項式: f( x) = 1/14 ( x+4)( x+1)( x-1)( x-3) + 0.55次多項式: f( x) = 1/20 ( x+4)( x+2)( x+1)( x-1)( x-3) + 2

多項式函數及多項式的根

給出多項式 f∈R[x1,...,xn] 以及一個 R-代數 A。對 (a1...an)∈An，我們把 f中的 xj都換成 aj，得出一個 A中的元素，記作 f(a1...an)。如此，f可看作一個由 An到 A的函數。

若然 f(a1...an)=0，則 (a1...an) 稱作 f的根或零點。

例如 f=x2+1。若然考慮 x是實數、復數、或矩陣，則 f會無根、有兩個根、及有無限個根！

例如 f=x-y。若然考慮 x是實數或復數，則 f的零點集是所有 (x,x) 的集合，是一個代數曲線。事實上所有代數曲線由此而來。

代數基本定理

代數基本定理是指所有一元 n 次（復數）多項式都有 n 個（復數）根。

多項式的幾何特性

多項式是簡單的連續函數，它是平滑的，它的微分也必定是多項式。

泰勒多項式的精神便在于以多項式逼近一個平滑函數，此外閉區間上的連續函數都可以寫成多項式的均勻極限。

任意環上的多項式

多項式可以推廣到系數在任意一個環的情形，請參閱條目多項式環。